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El análisis de varianza es una prueba que nos permite medir la variación de las respuestas numéricas como valores de evaluación de diferentes variables nominales.

La prueba a realizar es de sí existe diferencia en los promedios para la los diferentes valores de las variables nominales; esta prueba se realiza para variables donde una tiene valores nominales y la otra tiene valores numéricos.

En el siguiente ejemplo, se tiene la calificación de una prueba a personas con diferentes grados de escolaridad, lo que se intenta es probar si existe o no diferencia entre el grado escolar (variable nominal ) y el promedio de la calificación ( variable numérica ).

Para analizar si existe diferencia en los promedios se procede a realizar una prueba F que se explica posteriormente.

 

TABLA 1

CALIFICACIÓN

GRADO ESCOLAR

CALIFICACIÓN

GRADO ESCOLAR

67.15204678

DOCTORADO

39.5662768

ESTUDIANTE

64.36842105

DOCTORADO

39.07309942

ESTUDIANTE

60.91130604

ESTUDIANTE

38.71247563

DOCTORADO

55.38986355

ESTUDIANTE

34.95321637

ESTUDIANTE

53.917154

ESTUDIANTE

34.27777778

ESTUDIANTE

53.3460039

MAESTRÍA

34.27192982

ESTUDIANTE

52.15984405

ESTUDIANTE

67.63611386

DOCTORADO

51.86842105

ESTUDIANTE

62.77020467

DOCTORADO

51.12768031

DOCTORADO

60.88483775

ESTUDIANTE

50.63060429

ESTUDIANTE

56.50144025

ESTUDIANTE

50.35477583

MAESTRÍA

51.76861802

ESTUDIANTE

48.38596491

MAESTRÍA

53.63085832

MAESTRÍA

47.07407407

DOCTORADO

50.77179452

ESTUDIANTE

44.09454191

MAESTRÍA

50.89056506

ESTUDIANTE

43.41520468

ESTUDIANTE

48.66061841

DOCTORADO

43.23781676

MAESTRÍA

52.67230843

ESTUDIANTE

41.82066277

ESTUDIANTE

47.98778555

MAESTRÍA

41.57212476

ESTUDIANTE

48.23106247

MAESTRÍA

41.21539961

MAESTRÍA

46.83381069

DOCTORADO

40.8245614

ESTUDIANTE

45.52452004

MAESTRÍA

40.79824561

ESTUDIANTE

43.28708589

ESTUDIANTE

33.09835159

ESTUDIANTE

41.03983895

MAESTRÍA

32.1839986

ESTUDIANTE

41.53716416

ESTUDIANTE

58.49961104

ESTUDIANTE

43.38891669

ESTUDIANTE

56.18983249

ESTUDIANTE

39.98564149

MAESTRÍA

51.46872891

ESTUDIANTE

39.42669945

ESTUDIANTE

53.4198814

MAESTRÍA

38.45267793

ESTUDIANTE

53.7674174

ESTUDIANTE

39.80270585

ESTUDIANTE

50.90286877

ESTUDIANTE

37.09940719

ESTUDIANTE

49.49529961

DOCTORADO

41.13772888

DOCTORADO

50.07639845

ESTUDIANTE

34.4219837

ESTUDIANTE

48.55589372

MAESTRÍA

40.28758583

ESTUDIANTE

 

LA PRUEBA F.

El primer paso es ordenar los datos de acuerdo al valor nominal que le corresponde para así obtener:

El número de datos, el promedio y la desviación estándar de cada uno de los valores nominales.

De la TABLA 1 obtenemos tres valores nominales que toma la variable GRADO ESCOLAR, estos tres valores son:

DOCTORADO, ESTUDIANTE Y MAESTRÍA.

La siguiente tabla nos muestra estos resultados.

TABLA 2

GRADO ESCOLAR

CALIFICACIÓN

TOTALES

DOCTORADO

ESTUDIANTE

MAESTRÍA

cuad med

7133.522799

2828.000955

2089.735312

2215.78653

desviación

8.477715089

10.44722904

8.383858417

4.69392914

media

47.29390233

53.17895218

45.71362283

47.0721418

n

64

11

39

14

SUMA CUADRADOS

147677.5588

32199.45645

84170.66229

31307.4401

1

2

3

67.15204678

60.91130604

53.3460039

64.36842105

55.38986355

50.3547758

51.12768031

53.917154

48.3859649

47.07407407

52.15984405

44.0945419

49.49529961

51.86842105

43.2378168

38.71247563

50.63060429

41.2153996

67.63611386

43.41520468

53.4198814

62.77020467

41.82066277

48.5558937

48.66061841

41.57212476

53.6308583

46.83381069

40.8245614

47.9877855

41.13772888

40.79824561

48.2310625

33.09835159

45.52452

32.1839986

41.0398389

58.49961104

39.9856415

56.18983249

51.46872891

53.7674174

50.90286877

50.07639845

39.5662768

39.07309942

34.95321637

34.27777778

34.27192982

60.88483775

56.50144025

51.76861802

50.77179452

50.89056506

52.67230843

43.28708589

41.53716416

43.38891669

39.42669945

38.45267793

39.80270585

37.09940719

34.4219837

40.28758583

 

Siendo:

Obtenemos:

Para nuestro ejemplo:

c = 3 número de columnas (número de valores nominales DOCTORADO, ESTUDIANTE Y MAESTRÍA)

n = 64 total de datos

n1 =11 DOCTORADO

n2 = 39 ESTUDIANTE

n3 =14 MAESTRÍA

 

CM =64 ( 47.29390233)2 =64(2236.713198) = 143149.6446

SCC = (11(2828.000955)+39(2089.735312)+14(2215.78653))-143149.6446

SCC = (31108.01051+81499.67717+31021.01142) ))-143149.6446

SCC = 143628.6991-143149.6446

SCC= 479.0544662

SCE = SCT – SCC =4527.914147 – 479.0544662 = 4048.859681

g.l. 1 = c-1 = 3-1 = 2

g.l. 2 = n-c = 64 – 3 = 61

a (alfa) se obtendría mediante la siguiente integral:

 

Para ello necesitamos F, g.l. 1 y g.l. 2

Que son:

F =3.608710198

g.l. 1 = 2

g.l. 2 = 61

La función anterior no se puede integrar de manera explícita por lo que para resolverla es necesario usar métodos numéricos de integración.

Mediante las hojas de cálculo de Microsoft Excel es posible calcular el valor de a escribiendo para este ejemplo:

=DISTR.F(3.608710198, 2,61)

Ya que: F = 3.608710198 , g.l. 1 = 2 Y g.l. 2 = 61

Haciendo esto, obtenemos:

a = 0.033018211

 

El significado de a (alfa) y su interpretación

El método de análisis de varianza para comparación de promedios parte del supuesto inicial de que no existe diferencia entre los promedios y que los resultados de la muestra son producto exclusivamente del azar.

A este supuesto inicial se le conoce como la hipótesis nula y se le designa con H0.

Dada esta suposición el valor de a es la probabilidad de que se obtenga una muestra como la que se obtuvo sin que exista al menos una diferencia entre los promedios, si el valor de a es muy pequeño, entonces tenemos dos opciones:

1.-) Se obtuvo una muestra muy extraña y con escasas probabilidades de ocurrir.

2.-)La hipótesis nula de que no hay diferencia entre los promedios es falsa siendo que los valores observados ocurrieron no por azar sino porque existe al menos una pareja de valores nominales cuyos promedios son diferentes, A esta opción se le conoce como la hipótesis alternativa y se le denomina Ha.

Si el valor de a es muy pequeño, se opta por la segunda opción pues es una explicación mas plausible que las variables estén correlacionadas a que haya ocurrido un hecho rarísimo.

Para nuestro ejemplo tenemos que:

a = 0.033018211

Esto significa que la probabilidad sería un poco mayor al del 3 % para que ocurra una muestra como la que se obtuvo.

Otra forma de percibir la probabilidad de alfa es obteniendo el reciproco de a esto es:

a -1 = 1 / a

a -1 = 1 / 0.033018211

a -1 = 30.28631684

a -1 Significa que la probabilidad de ocurrencia es de uno en 30.

También tenemos lo que es el nivel de significancia o intervalo de confianza (I.C).

I.C. = 1 - a

I.C. = 1 - 0.033018211

I.C. = 0.966981789

I.C. = 96.698 %

 

 

Tenemos entonces para nuestro ejemplo dos opciones.

1.-) Los resultados de esta muestra son producto exclusivamente del azar y ocurrió algo que ocurre una de cada 30 veces (hipótesis nula H0 ).

2.-) No ha ocurrido un hecho extraño con pocas posibilidades de ocurrencia sino que ha ocurrido un hecho común donde existe al menos una pareja de valores nominales cuyos promedios son diferentes (hipótesis alternativa Ha ).

¿Cuál es la opción que tomaríamos para este caso?

Se tiene un criterio que es enteramente convencional pues no existe ninguna razón matemática para validarlo; de que con valores de a menores o iguales a 0.05, se opta por la hipótesis alternativa Ha, esto es que al menos una pareja de los valores nominales tienen promedios que son diferentes en tanto que para valores de a mayores de 0.05 se opta por la hipótesis nula H0, esto no hay ninguna diferencia estadísticamente significativa entre los promedios de los valores nominales.

Una a = 0.05 implica un nivel de significancia de o intervalo de confianza (I.C.) de:

I.C. = 1 - a

I.C. = 1 – 0.05

I.C. = 0.95

I.C. = 95 %

A este criterio se le conoce como un nivel de significancia del 95 %

Si aplicamos este criterio a nuestro ejemplo, tenemos que:

a = 0.033018211

0.033018211< 0.05

o

I.C. = 96.698 %

96.698 % > 95 %

Lo que implica la hipótesis alternativa Ha estos es existe al menos una pareja de valores nominales cuyos promedios son diferentes.

La siguiente tabla (TABLA 3) nos muestra el resultado del análisis de varianza entre la variable nominal GRADO ESCOLAR y la variable numérica CALIFICACIÓN como resultado de este ejemplo.

 

TABLA 3

Nombre

nombre

Alfa

I.C.

g.l. 1

g.l. 2

F

CALIFICACIÓN

GRADO ESCOLAR

0.033018211

0.966981789

2

61

3.608710198

Si:

No existe ninguna diferencia estadísticamente significativa entre los promedios de los valores nominales H0 (hipótesis nula) el problema termina, pero si consideramos la hipótesis alternativa Ha tenemos que analizar en que pareja o parejas de valores, hay una diferencia estadísticamente significativa en el promedio, en nuestro ejemplo, nuestro nivel de significancia o intervalo de confianza rebasa muy ligeramente el criterio del 95 %.

Para analizar cada una de las parejas, se hace una prueba t de student para comparar si existe o no diferencia entre las dos medias.

La siguiente tabla (TABLA 4) nos muestra el nivel de significancia o intervalo de confianza I.C. en la prueba t de student para cada una de las combinaciones de los diferentes valores nominales.

 

TABLA 4

COMBINACIONES

VALORES

3

3

g.l. 1

g.l. 2

alfa

I . C. crit

var num

Var nom

F

I . C.

2

61

0.033018211

0.966981789

PROMEDIO TOTAL

GRADO ESCOLAR

3.609

95%

valido

t

n

desvi

media

valor

VALOR

VALOR

ALFA

I . C .

DIF

11

10.44722904

53.17895218

DOCTORADO

DOCTORADO

ESTUDIANTE

0.017

0.983

7.465

64

8.477715089

47.29390233

TOTALES

DOCTORADO

MAESTRIA

0.062

0.938

6.107

14

4.693929139

47.07214178

MAESTRÍA

ESTUDIANTE

MAESTRIA

0.569

0.431

-1.359

39

8.383858417

45.71362283

ESTUDIANTE

 

CONCLUSIONES

Si tomamos el criterio de 95 %, veremos que solamente existe una diferencia estadísticamente significativa entre los valores nominales de DOCTORADO Y ESTUDIANTE pues el I.C. es del 98.3 %, en las otras dos parejas, DOCTORADO Y MAESTRÍA, el I.C. es de 93.8 % por lo que para el criterio del 95 % no existe diferencia significativa, si tomáramos como criterio un nivel de significancia del 90 %, entonces optaríamos por la hipótesis alternativa de que si hubiese diferencia entre las calificaciones de las personas de DOCTORADO Y MAESTRÍA. Finalmente para ESTUDIANTE Y MAESTRÍA el nivel de significancia I.C. es de 43.1 % por lo que no podemos afirmar que exista diferencia entre los promedios de ESTUDIANTE Y MAESTRÍA.

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